甲和乙玩一个游戏：一块7*8表格形的巧克力，两人轮流沿横竖分割线将它掰成两块并吃掉其中一块（每次至少吃一块），吃最后一块巧克力的人判负。那么游戏有必胜策略吗？先手胜还是后手胜呢？

第27届IMO竞赛第一题

正整数d不等于2, 5或13。求证：在2、5、13和d这4个数中，能否一定能找到2个数，使它们的乘积减去1不是完全平方数？

已知A是一个完全平方数，则A的末尾最多有几个4？

甲：今天公共汽车上人多么？
乙：还行，第一站上来３个，下去５个；
第二站上来７个，下去１２个；
第三站上来４５个，下去２３个；
第四站上来１８个，下去１２个；
第五站上来９个，下去８个。
问：车上至少还有几人？

2019年即将过去，小明有点不舍得。他想找到两个自然数m,n，使这两个数的立方和等于2019。请问小明的想法能实现吗？

小明发现：5，7，11等质数的平方除以24的余数都是1。小明猜想：所有不小于5的质数，其平方除以以24的余数都是1。请问小明的猜想正确吗？

把100个小球排成一个圆圈，其中有33个黑色小球和67个白色小球。小明说：不管怎么排列，总能找到一个白色小球，从该小球顺时针方向数任意多个球，白色小球数量都比黑色小球的数量多。请问小明说的正确吗？

票房有15人排队买票，其中9人手持5元，6人手持10元，票价人均5元，票房一开始没钱，为使大家都不发生无法找零的情况，这15人共有几种排队方法？

有N块(N>0)相同的巧克力，每天吃至少一块，直至吃完。问：共有多少种吃法？

几个人同行，必有三人彼此均相识或均不相识？

有1------1000000，共1000000个数。求出每一个数的各位数字之和(例如，589的数字之和为5+8+9=22，8的各位数字之和就是8)，这样得到一百万个新数，再求出这一百万个新数的各位数字之和，重复操作直到得到一百万个一位数。问：在这一百万个一位数中，1的个数多还是2的个数多？

新一届的总统选举即将举行，在20,000,000的投票者中只有1%的人支持现在的总统Sroan，所以他想用一种“民主”的方法来投票，他的提议如下：将所有的投票者分为n₁个小组，每个小组中的人数都一样，再将这些小组都分成n₂个更小的子小组，这些小组中的人数也都一样，再把他们在分成n₃个更小的子子小组，以此类推。每一个（子）i小组按少数服从多数的原则选出第i-1级的代表，以此类推。Sroan能够组织起这些小组并让他的支持者分散在其中，使他最终获胜吗？

已知BE、CF是锐角△ABC的两条高。∠ABE的平分线、∠ACF的平分线是否与线段EF的垂直平分线相交于一点。

对自然数n,(1/5)*n^5+(1/3)*n^3+(7/15)*n是否一定是自然数？注：n^5表示n的5次方。

在一个正方形纸箱底放了3张一样大小的正方形纸片，他们相互叠加，显示的面积是20（红），14（黄），10（青）。求纸箱底面积。

1994圣彼得堡数学奥林匹克(初中

在凸四边形ABCD内取一点O。不等式OA<AB，OB<BC，OC<CD，OD<DA中是否至少有一个成立。

7颗糖，一天吃1-3颗，吃完为止，有几种吃法。

已知∠ABC=44°，∠BAD=24°，DC=2AB，则∠C=_____。

【五年级 计数问题】

小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

某城市共有83条公交线路，每条线路都是10个车站，任意两条线路都恰好只有一个公共车站。政府决定在其中24个车站安装遮阳棚，问是否一定能设计一种方案，使每条线路上都既有带遮阳棚的车站，也有不带遮阳棚的车站？

某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上

为优秀。不及格是否小于优秀的人数