甲和乙玩一個遊戲：一塊7*8表格形的巧克力，兩人輪流沿橫豎分割線將它掰成兩塊並吃掉其中一塊（每次至少吃一塊），吃最後一塊巧克力的人判負。那麼遊戲有必勝策略嗎？先手勝還是後手勝呢？

第27屆IMO競賽第一題

正整數d不等於2, 5或13。求證：在2、5、13和d這4個數中，能否一定能找到2個數，使它們的乘積減去1不是完全平方數？

已知A是一個完全平方數，則A的末尾最多有幾個4？

甲：今天公共汽車上人多麼？
乙：還行，第一站上來３個，下去５個；
第二站上來７個，下去１２個；
第三站上來４５個，下去２３個；
第四站上來１８個，下去１２個；
第五站上來９個，下去８個。
問：車上至少還有幾人？

2019年即將過去，小明有點不捨得。他想找到兩個自然數m,n，使這兩個數的立方和等於2019。請問小明的想法能實現嗎？

小明發現：5，7，11等質數的平方除以24的餘數都是1。小明猜想：所有不小於5的質數，其平方除以以24的餘數都是1。請問小明的猜想正確嗎？

把100個小球排成一個圓圈，其中有33個黑色小球和67個白色小球。小明說：不管怎麼排列，總能找到一個白色小球，從該小球順時針方向數任意多個球，白色小球數量都比黑色小球的數量多。請問小明說的正確嗎？

票房有15人排隊買票，其中9人手持5元，6人手持10元，票價人均5元，票房一開始沒錢，為使大家都不發生無法找零的情況，這15人共有幾種排隊方法？

有N塊(N>0)相同的巧克力，每天吃至少一塊，直至吃完。問：共有多少種吃法？

幾個人同行，必有三人彼此均相識或均不相識？

有1------1000000，共1000000個數。求出每一個數的各位數字之和(例如，589的數字之和為5+8+9=22，8的各位數字之和就是8)，這樣得到一百萬個新數，再求出這一百萬個新數的各位數字之和，重複操作直到得到一百萬個一位數。問：在這一百萬個一位數中，1的個數多還是2的個數多？

新一屆的總統選舉即將舉行，在20,000,000的投票者中只有1%的人支持現在的總統Sroan，所以他想用一種「民主」的方法來投票，他的提議如下：將所有的投票者分為n₁個小組，每個小組中的人數都一樣，再將這些小組都分成n₂個更小的子小組，這些小組中的人數也都一樣，再把他們在分成n₃個更小的子子小組，以此類推。每一個（子）i小組按少數服從多數的原則選出第i-1級的代表，以此類推。Sroan能夠組織起這些小組並讓他的支持者分散在其中，使他最終獲勝嗎？

已知BE、CF是銳角△ABC的兩條高。∠ABE的平分線、∠ACF的平分線是否與線段EF的垂直平分線相交於一點。

對自然數n,(1/5)*n^5+(1/3)*n^3+(7/15)*n是否一定是自然數？註：n^5表示n的5次方。

在一個正方形紙箱底放了3張一樣大小的正方形紙片，他們相互疊加，顯示的面積是20（紅），14（黃），10（青）。求紙箱底面積。

1994聖彼得堡數學奧林匹克(初中

在凸四邊形ABCD內取一點O。不等式OA<AB，OB<BC，OC<CD，OD<DA中是否至少有一個成立。

7顆糖，一天吃1-3顆，吃完為止，有幾種吃法。

已知∠ABC=44°，∠BAD=24°，DC=2AB，則∠C=_____。

【五年級 計數問題】

小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那麼共有多少種不同的吃法？

某城市共有83條公交線路，每條線路都是10個車站，任意兩條線路都恰好只有一個公共車站。政府決定在其中24個車站安裝遮陽棚，問是否一定能設計一種方案，使每條線路上都既有帶遮陽棚的車站，也有不帶遮陽棚的車站？

某次考試共有333名學生做對了1000道題。做對3道及以下為不及格，6道及以上

為優秀。不及格是否小於優秀的人數