（北大考試題）一個球面上任取4個點,這4點共半球的概率多少?

如果有3個門，有一個背後有大獎。你選中一個，主持人知道哪個門後面有獎，並且總會打開另外兩個中的某個沒獎的。現在你有一次換得機會，你應該

以下那件事情發生的期望時間最短    
A、在第0秒，一個物體從原點出發，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原點的時間
B、一隻猴子，每秒種隨便按鍵盤上的一個鍵，第一次打出"Beijing WelcomesYou"的時間
C、在第0秒，一個物體從原點出發，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到達1的時間

我們能在平面上寫下不可數個不相交的字母 Y 嗎？

一條彎曲的簡單封閉曲線被一張白紙蓋住了，白紙中間有一個正方形的洞，我們可以看到部分曲線（如圖所示）。現在，如果區域A是在曲線的內部，那麼請問B是在封閉曲線的內部還是外部？

如果兩個正方形S1和S2包容於單位正方形中，它們沒有公共點，也沒有公共部分，則它們的邊長之和是否一定小於1。

黑板上寫有1，2，3，…，1998，這1998個自然數，對它們做998次操作，每次操作規則如下：擦掉寫在黑板上的三個數后，再添上所擦掉的三個數之和的末位數字。例如：擦5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38后，添加上0，等等。如果最後發現黑板上剩下的兩個數，一個是25，那麼另一個數是多少？

老題新問

一個巨大的圓形水池半徑10米，周圍布滿了老鼠洞。貓追老鼠到水池邊，老鼠未來得及進洞就掉入水池裡。貓繼續沿水池邊緣企圖捉住老鼠（貓不入水）。已知V貓=4米/秒，V鼠=1米/秒。老鼠初始在水池中央。

問老鼠成功逃脫最短逃脫時間是多少？

（答案保留小數點后一位。答案格式：12.3）

Sroan要穿越一片沙漠去見他的一位老朋友，徒步穿越需要6天的時間，但一個人只夠帶4天的口糧，很顯然他一個人無法走完整個路程，於是他決定帶上幾個幫手，每個幫手也只能帶4天的口糧，請問他最少需要幾個幫手才能幫他見到老友？（幫手不用穿越整個沙漠，但要安全返回）

有25匹馬．．．5條跑道．．每條跑道上只能跑一匹馬，最少用多少次，可以選出其中跑的最快的3匹馬．比賽時不許計時

33iq王國政壇有變化啦！它實行3人團體的政治領導制度。廣受愛戴的領導的Sroan因為家庭事務不得不提早退休，這樣3人團體中就留下一個空缺需要人來填補。目前王國有兩個政黨，肉食黨和素食黨。兩黨在3人團體中各有一名代表，分別是頗有資深范兒的肉食者代表135和年幼的素食者代表jiege。

為了Sroan留下的空位，他們制定了選拔規則。首先，由n個人組成一個大的議會。奇怪的是這個議會所有的成員都是素食黨的。每個議會成員都被賦予一個正整數值A1，A2，... An。整個「殘忍」的選拔過程將執行數輪：每一輪次開始時jiege會在整個大議會中選出一些人組成子集S，剩下的議會成員被稱為C。（最初C將是整個議會）。然後135有兩個選擇。他可以把子集S都吃掉（因為他是肉食者），但是這樣做將是剩下的CS的成員的賦值都減1。另外，當然他可以吞食CS（他食量真的很大），然後剩下的S的成員的賦值減1。

好吧，這個過程繼續，直到最後發生兩件事情：1，整個議會的人都被135吃掉了，然後135可以打著飽嗝選擇任何一個他的政黨的成員填補空缺。另一種可能性是，某些或者某個素食黨的成員的賦值將達到零，然後jiege（jiege：我的同胞都被你這個傢伙吃的差不多了，我才能登場啊，魂淡）可以選擇任何一個賦值為零的人來填補空缺。好吧，雖然他那麼愛吃肉，但是135的智商還是可圈可點的，那麼哪個政黨將獲得這個空缺的席位呢？

33iq禮堂7樓的洗手間已經修繕好了，但是承包商忘記將男女廁所的牌子掛上去。一名來參觀數學科學部的遊客來到洗手間門口，但他不想走錯門，正巧遇見了著名的三胞胎：Pasber，Jiege和TTL，他們知道正確的衛生間。這三個人簡直一模一樣，連他們的母親也分辨不出他們。Pasber是學術界中公認的好人，他一直都說真話；Jiege是一個吝嗇的人，總是說假話；TTL總是犯迷糊，一會說真話，一會說假話。遊客可以向他們問兩個問題才能讓他走對洗手間呢？（注意：一個問題只能問給一個人，被問的人會根據自己的身份回答問題）

（提問中不能出現並列關係否則將被算作兩個問題）

現在有12把鑰匙，其中只有三把鑰匙只能打開不能鎖上，稱為A鑰匙。另外四把鑰匙只能鎖上不能打開，稱為B鑰匙。剩下的五把鑰匙都是假的不能鎖也不能開，稱為C鑰匙。

你無法從外觀上分辨它們的區別，目前只有一把鎖著的鎖，現在King試圖找出三把A鑰匙，但他不知道B鑰匙和C鑰匙分別有多少，King是個聰明的人，但King今天的運氣實在倒霉透頂，請問他要用幾次才能找出？

依然是n個人戴著n頂帽子圍成一圈，不過這次的帽子是由一個名叫Sroan——希望他們輸掉的人給他們戴上的。戴上帽子的人允許思考，每過一分鐘，任何一個人都可以說出他們帽子的顏色。遊戲將在n分鐘之後結束，有人說錯或沒說都算輸。他們能夠取勝嗎？
現在考慮這樣一種情景，Pasber突然衝進室內並在Sroan能阻止他之前大喊：「有人戴了黑帽子」或「你們都戴了白帽子」。這能對遊戲有幫助嗎？

小花的小情人給小花送了6個看似完全一樣的小球，但分別重1,2,3,4,5,6g。

為了不弄混這些小球，小花準備給小球貼上了的標籤。

廣告時間：該標籤採用三體星球的最高科技成果，超薄夜用型，即使放在天平上，天平抖都不抖一下，是你居家旅行殺人越貨的不二選擇哦，親~

小花一邊在小球上貼標籤（標籤上寫有重量123456），一邊卻在想念小情人。

等回過神來，一時不知自己貼錯了沒。

還好，小花有個天平。

請問，對以下兩種情況，小花至少要稱幾次，才能確保自己知道有沒有貼錯？

（1）小花回過神時，已經貼上了5個標籤，而沒貼的是6g的，6g的標籤也幸好還在。

（2）小花想的太入迷，貼完了才意識到自己可能手滑了。

（所謂稱量一次，是指觀察一次天平的狀態。）

新一屆的總統選舉即將舉行，在20,000,000的投票者中只有1%的人支持現在的總統Sroan，所以他想用一種「民主」的方法來投票，他的提議如下：將所有的投票者分為n₁個小組，每個小組中的人數都一樣，再將這些小組都分成n₂個更小的子小組，這些小組中的人數也都一樣，再把他們在分成n₃個更小的子子小組，以此類推。每一個（子）i小組按少數服從多數的原則選出第i-1級的代表，以此類推。Sroan能夠組織起這些小組並讓他的支持者分散在其中，使他最終獲勝嗎？

華爾街的奇才們又來了，某投資銀行發明了如下這部機器。

這部機器由六個箱子組成,，分別編號1~6。當你第一次使用這部機器時，每個盒子里都有一枚代幣。機器上還有A，B兩個按鈕，你可以隨意按它們多少次都可以。

按鈕A：從1~5號箱中選擇編號i的箱子，將i號箱子里的代幣拿走1枚，i+1號箱里的代幣就會奇迹般的增加兩個。

按鈕B：從1~4號箱中選擇編號i的箱子，將i號箱子里的代幣拿走1枚，i+1號箱和i+2號箱里的代幣就會發生交換。

這部機器價值1萬億美元，合同上說你可以隨時將這部機器退還給銀行，並且銀行會按機器中一個代幣一美元的價格付給你錢。這部機器值得購買嗎？

三隻蜘蛛和一隻蒼蠅在一個立方體的邊上爬行。它們每時每刻都可以看到對方。每隻蜘蛛的速度至少有蒼蠅的三分之一。請問最終蜘蛛能抓住蒼蠅嗎？

武漢大學的新校區是一個半徑為1千米的圓。月巴克公司準備在這裡開7間咖啡店。那麼他們把這些咖啡店建在哪些位置可以使校區內任何一個人在任何地方到一間最近咖啡店的最大距離儘可能短？請問最大距離是多少？

有一個137個座位的大劇院當晚演出的門票已經售罄。觀眾按照隨機的順序入場。不幸的是第17名入場者Pasber由於喝醉了隨便坐了一個座位而不是他原本的座位，他坐下之後又馬上睡著了。接著當原本那個座位的觀眾發現有人坐了他的座位之後也隨便找了個座位坐。那麼最後一名觀眾坐對座位的可能性有多大？

有2n個人帶著帽子圍成一個圈，每個人都可以看到其他人的帽子。在某個合適的時刻每個人都要同時喊出「我的帽子是黑的」或「我的帽子是白的」。如果至少有n個人喊對了那麼他們就能贏得一個大獎。當然如果少於n個人答對就什麼都沒有了。那麼他們能贏得這個大獎嗎？

Sroan在33iq里拍賣自己的100學識，請大家給這100學識開價，每次叫價的增幅以5學識為單位，出價最高者得到這100學識，但出價最高和次高者都要向拍賣人支付出價數目的學識。

拍賣沒有時間限制，出價不能相同。

如果所有人都是逐利的、不懷好意的、理性的，理論上最後的拍賣價格會是多少？

（所謂逐利就是一定有人會以低於100學識的價格開價，不懷好意的是指不希望對方比自己虧損得少或者賺得多）

在潘多拉森林裡有100個休息站，有1000條小道連接著每兩個休息站。每條小道e都有不同的難度等級l(e)，沒有任何兩條小道的難度是一樣的。有一名勇敢的遠足愛好者Sroan決定利用假期按照小道難度等級由低到高逐級挑戰20條小道。他能肯定這樣做是可以的嗎？

他可以自由選擇開始的休息站，20條小道要是連續的，也就是說下一條小道的起點就是上一條小道的終點。

艾倫和丹尼在一座山的兩端，他們想走到一起思考更多的難題。他們出發點的海拔高度是一樣的，要求他們在整個過程中都始終保持相同的海拔，必要時，當然也可以倒退。請問他們能做到么？山可以看成是二維的分段線性曲線。如下圖：

Sroan正在為明天的離散數學考試而輾轉反側難以入眠。第二天一大早他便被一陣邪惡的笑聲吵醒，發現床腳邊坐著一個調皮的矮人，旁邊還堆著看似無盡的薯片。「你好！Sroan。」那個矮人說到，「可以跟我玩個小遊戲嗎？這裡有54436758343207698塊薯片，最下面的一塊代表你的靈魂。遊戲規則相當簡單，首先我們中的一個先拿一部分薯片，但第一次不能拿全部的，之後我們輪流拿取。遊戲有一個條件就是雙方都不能在自己回合拿取大於前一個人剛才拿的薯片數，拿到最後一片的人獲勝。如果我贏了，就要取走你的靈魂，你贏了就讓你考試得A。你想先手還是後手？」

對Sroan來說這好像是一個可行的賭局，你能幫Sroan想一個策略，不管有多少薯片都能讓他贏？

這是不是太簡單了？現在如果後者能拿前者剛拿薯片的兩倍，又有是否能獲勝？