是否存在两个无理数a和b，使得a的b次方是有理数?

一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他;这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元，请问：这个骗子一共骗了多少钱?

第27届IMO竞赛第一题

正整数d不等于2, 5或13。求证：在2、5、13和d这4个数中，能否一定能找到2个数，使它们的乘积减去1不是完全平方数？

已知BE、CF是锐角△ABC的两条高。∠ABE的平分线、∠ACF的平分线是否与线段EF的垂直平分线相交于一点。

罪犯为了在一幢13层住宅楼里行窃，故意弄坏了电梯里的按钮。现在电梯不能按照所按的楼层号码停靠(即所停楼层与所按的号码不一定相符)。一位老人从他所在的楼层按了自己要去的楼层号码，结果却到了别的楼层，于是，他不得不再次按自己要去的楼层号码，经过1313次反复试按，他发现又回到了开始时的楼层。是否只要反复按同一个号码，可以由任何一层到达任何一层

有A、B、C三个同等大小的文件，只能用某下载软件下载，而这个下载软件最多只能同时下载两个文件，已知下载A、B、C其中的一个文件大概需要20分钟。现在这三个文件必须在30分钟内下载完成，请问能够完成任务吗？（网速充足）

桌子上放有一张A4纸，还有大小相等、数量足够的黑白棋子。执黑棋的先走，两个人按照顺序，每次拿一枚棋子，依次放在这张纸的任意位置，要求棋子必须完全置于A4纸内，不得叠放，下棋后不得改变棋子位置，一直下到纸上再也放不下任何棋子。最后下棋的人算获胜的一方。如果你参与了这个游戏，你该怎么做才能保证自己一定能够获胜？

给定正整数k和n，它们的差大于1。现知4kn+1能被k+n整除。2n-1与2k+1是否有大于1的公约数。

第46届IMO预选题

已知正整数a 、b、c 、d 、e 、f 满足和S = a + b + c + d + e + f

可以整除abc + def 与ab + bc + ca - de -ef - fd. S 是否是合数.

解方程（如图），求x。其中等号左边的省略号表示无穷个x依次做为幂指数。

（文字描述）

x^x^x^……（无穷个x次方）=2

【题目创意来自百度贴吧-智力题吧】

【关联题目#473487】

Sroan把两个五位数相乘写下了答案，不幸的是，其中有一个数码(用*表示)看不清楚，无法识别了：98564x54972=541*260208
为了确定这个缺失的数码，Sroan非得把这乘法重新做一次吗？

可以知道：

2^(2^0)+1=3

2^(2^1)+1=5  

2^(2^2)+1=17

2^(2^3)+1=257  

2^(2^4)+1=65537
都是素数，那么像 2^(2^n)+1 （n为非负整数）这种形式的数是不是都是素数？若不是，请举个最简单的例子证明。

方程 x³ + y⁴ = z⁵

是否有正整数解？