是否存在兩個無理數a和b，使得a的b次方是有理數?

一個騙子到商店買了5元的東西，他付給店員50元錢，然後店員把剩下的錢找給了他;這時他又說自己有零錢，於是給店員5元的零錢，並且要回了開始給出的50元，請問：這個騙子一共騙了多少錢?

第27屆IMO競賽第一題

正整數d不等於2, 5或13。求證：在2、5、13和d這4個數中，能否一定能找到2個數，使它們的乘積減去1不是完全平方數？

已知BE、CF是銳角△ABC的兩條高。∠ABE的平分線、∠ACF的平分線是否與線段EF的垂直平分線相交於一點。

罪犯為了在一幢13層住宅樓里行竊，故意弄壞了電梯里的按鈕。現在電梯不能按照所按的樓層號碼停靠(即所停樓層與所按的號碼不一定相符)。一位老人從他所在的樓層按了自己要去的樓層號碼，結果卻到了別的樓層，於是，他不得不再次按自己要去的樓層號碼，經過1313次反覆試按，他發現又回到了開始時的樓層。是否只要反覆按同一個號碼，可以由任何一層到達任何一層

有A、B、C三個同等大小的文件，只能用某下載軟體下載，而這個下載軟體最多只能同時下載兩個文件，已知下載A、B、C其中的一個文件大概需要20分鐘。現在這三個文件必須在30分鐘內下載完成，請問能夠完成任務嗎？（網速充足）

桌子上放有一張A4紙，還有大小相等、數量足夠的黑白棋子。執黑棋的先走，兩個人按照順序，每次拿一枚棋子，依次放在這張紙的任意位置，要求棋子必須完全置於A4紙內，不得疊放，下棋后不得改變棋子位置，一直下到紙上再也放不下任何棋子。最後下棋的人算獲勝的一方。如果你參與了這個遊戲，你該怎麼做才能保證自己一定能夠獲勝？

給定正整數k和n，它們的差大於1。現知4kn+1能被k+n整除。2n-1與2k+1是否有大於1的公約數。

第46屆IMO預選題

已知正整數a 、b、c 、d 、e 、f 滿足和S = a + b + c + d + e + f

可以整除abc + def 與ab + bc + ca - de -ef - fd. S 是否是合數.

解方程（如圖），求x。其中等號左邊的省略號表示無窮個x依次做為冪指數。

（文字描述）

x^x^x^……（無窮個x次方）=2

【題目創意來自百度貼吧-智力題吧】

【關聯題目#473487】

Sroan把兩個五位數相乘寫下了答案，不幸的是，其中有一個數碼(用*表示)看不清楚，無法識別了：98564x54972=541*260208
為了確定這個缺失的數碼，Sroan非得把這乘法重新做一次嗎？

可以知道：

2^(2^0)+1=3

2^(2^1)+1=5  

2^(2^2)+1=17

2^(2^3)+1=257  

2^(2^4)+1=65537
都是素數，那麼像 2^(2^n)+1 （n為非負整數）這種形式的數是不是都是素數？若不是，請舉個最簡單的例子證明。

方程 x³ + y⁴ = z⁵

是否有正整數解？