1992聖彼得堡數學奧林匹克(初中)
在每一局象棋比賽中。贏者得1分。平局各得0分。輸者扣1分，若干個學生進行象棋比賽。每兩人比賽一局，結果發現。有一人共得7分。另一人共得20分，在比賽過程中是否至少出現過一次平局
A、是
B、否
某人收集硬幣。今知他所收集的所有硬幣的直徑都不大於10cm。他將其所有硬幣貼在一張尺寸為30cm×70cm的硬紙板上。他是否可以把它們都換到另一張尺寸為40cm×60cm的硬紙板上。
2006青少年數學國際城市邀請賽
一座大樓有4部電梯，每部電梯可停靠三層(不一定是連續三層，也不一定停最底層)。對大樓中的任意的兩層，至少有一部電梯可同時停靠。請問這座大樓最多有幾層?
水窪里有19條藍色變形蟲和95條紅色變形蟲。有時它們會發生互變:如果2條紅色變形蟲相遇，會變成1條藍色變形蟲;如果2條藍色變形蟲相遇，在變成1條變形蟲之後又立即分裂為4條紅色變形蟲;而1條紅色變形蟲與1條藍色變形蟲相遇，則在變成1條變形蟲之後又立即分裂為3條紅色變形蟲。到了晚上，水窪里一共有100條變形蟲。試問:其中有多少條藍色變形蟲?
罪犯為了在一幢13層住宅樓里行竊，故意弄壞了電梯里的按鈕。現在電梯不能按照所按的樓層號碼停靠(即所停樓層與所按的號碼不一定相符)。一位老人從他所在的樓層按了自己要去的樓層號碼，結果卻到了別的樓層，於是，他不得不再次按自己要去的樓層號碼，經過1313次反覆試按，他發現又回到了開始時的樓層。是否只要反覆按同一個號碼，可以由任何一層到達任何一層
奧林匹克競賽規則是:在每一輪競賽中都把參賽者兩兩分組，組內兩人比賽，敗者淘汰，勝者進入下一輪，直至最後決出一名冠軍。現有512名運動員參加奧林匹克競賽，他們的號碼分別為1號到512號。如果分在同一組中的兩個人的號碼之差大於30，就把這個組稱為「沒勁的」。試問:能否在整個賽程中不出現沒勁的組?
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