設u為任一給定的正整數。證明:方程n!=ua-ub至多有有限多組正整數解(n，a，b)
設⊙O的內接凸四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD的交點為P，過P、B兩點的⊙O1與過P、A兩點的⊙O2相交於兩點P、Q，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O相交於另一點E、F。求證:直線PQ、CE、DF共點或者互相平行
2003年IMO中國國家集訓隊選拔考試試題
在銳角△ABC中，AD是∠A的內角平分線，點D在邊BC上，過點D分別作DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別為E、F，連結BE、CF，它們相交於點H，△AFH的外接圓交BE於點G。求證:以線段BG、GE、BF組成的三角形是直角三角形。
求所有正整數集上到實數集的函數f，使得
(1)對任意n≥1，f(n+1)≥f(n);
(2)對任意m、n，(m，n)=1，有f(mn)=f(m)f(n)。
設∠XOY=90°，P為∠XOY內的一點，且OP=1，∠XOP=30°，過點P任意作一條直線分別交射線OX、OY於點M、N。求OM+ON-MN的最大值。
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