天才美少女燃雪乘坐时光机去文艺复兴时期找达芬奇，不料时光机故障，被送入了一个不知名的时代。有些兴奋的她四处玩耍，却被一群土著看见，土著们以为是天仙下凡，抓她去见国王。国王认为燃雪是奸细，准备杀了她。燃雪十分冷静地对国王说：“我是未来世界的人，你不能杀我，否则未来不知道会变成什么样！” “你怎么证明你来自未来？”
燃雪向国王询问了日期，还好当地也用公元纪年法，此时是公元1855年，9月22日，周日。燃雪想了想说：“大王，您选一个最喜欢的个位数，用今年天数365减去今年已经过去的天数再乘以这个数，并将结果加上 今年已过的天数乘7（星期天），再减去您的出生的年期，结果的第一位数是您喜欢的数，后两位一定是您的年龄，神不神奇?”国王一算，我1799年出生，56岁，居然是真的！神了！！
国王以为燃雪是神灵，迫不及待地找到最著名的数学家，向其讲述这次数学奇遇，之后最有可能发生什么?_?……
托马斯松因为私闯王宫窥视公主被国王抓住了，残忍的国王把他跟其他 499 个死囚关在一起，为了表现自己的恩慈，国王发布命令，这 500 个死囚只有一个人能够得到赦免，不过规矩是这 500 个死囚排成一列，按 1、2、1、2、1、2 这样的方式报数，凡是报 1 的都杀掉，一轮之后再从第一个人开始按1、2、1、2、1、2 的方式报数，如此循环，直到剩到最后一人，托马斯松应该站在哪个位置呢？
国王要在他的9座城市之间修路，每条路连接且仅连接两座城市，这些城市之间原本没有路.
国王要求各个城市与它相连的路的数量分别为5,4,7,3,2,3,6,3,4.
他的要求是否可以达成？如果可以达成那么路要修几条？
0国王带着1、3、5、7、9、11六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。0国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。
1大臣说：“我是质数，我应该住质数房！”
3大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！”
他们闹得不可开交，最后只好请0国王来评判。可0国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？总共能够设计几种不同的住法呢？
一个邪恶的国王有1000瓶葡萄酒。一个邻近皇后想阴谋杀死该国王，于是发出了一个仆人准备给酒下毒。可是，国他的仆人只有给一瓶酒下毒后就被国王的卫兵抓住了。卫兵们不知道哪个瓶子是被毒死的，但他们知道，毒药是如此强大，以至于即使稀释10000000000万次，仍然是致命的。
此外，毒性需要一个月才发作。国王决定，他将让他的一些囚犯试酒。 国王很机智，他知道他不需要动用1000个囚犯，而是10个囚犯，就可以试出哪瓶酒有毒，所以，他只要等5周时间就可以喝剩下的999瓶葡萄酒。他是怎么做到的呢？
注意，这道题仍然不是旧题重发，扩展后又进行了二次扩展的
一个国王有1,000,000,000,000瓶红酒，并打算在他的六十大寿时用这些酒开酒会。不幸的是，其中有一瓶红酒被人下了毒，凡是沾到毒酒者大约20个小时（前后时差不会超过29分钟）开始有异样并在毒发一分钟后死亡（只沾到一万亿分之一滴也会死）。太医已有解药，可在服下后半分钟内完全彻底解毒，解药的效果会在服下1分钟后完全消失，解药只能解已经开始复发的毒药，对毒发前的毒药无效。由于国王的大寿就在明天（离酒会开始只有24小时），国王宴请的人非常非常多，且都是王公贵族，经不起毒发后半分钟的痛苦，所以国王想尽可能多的挑出无毒的酒进行宴会，就吩咐侍卫用监牢里的死囚来挑选无毒酒，可是只找到5个死囚。
请问：5个死囚至少可以挑出多少瓶无毒的酒呢？
注意，这不是旧题重发，进过扩展的
一个国王有10000瓶红酒，并打算在他的六十大寿时用这些酒开酒会。不幸的是，其中有一瓶红酒被人下了毒，凡是沾到毒酒者大约20个小时（前后时差不会超过29分钟）开始有异样并马上死亡（只沾到一滴也会死）。由于国王的大寿就在明天（离酒会开始只有24小时），国王宴请的人很多，他想尽可能多的挑出无毒的酒进行宴会，就吩咐侍卫用监牢里的死囚来挑选无毒酒，可是只找到5个死囚。请问：5个死囚至少可以挑出多少瓶无毒的酒呢？
如果国王有无限多瓶的红酒呢？
某个国王手下有 n 个大臣。国王定期主持国家会议，届时 n 个大臣将会间隔均匀地坐在圆桌上。每个座位前都有一盏照明灯，只有所有的灯都亮了，会议才能开始进行。如果有些灯没亮，国王会下达指令，让指定位置上的大臣按下座位前的灯的开关，把没亮的灯都打开。例如，当 n = 100 时，圆桌上会坐着 100 个大臣。不妨将座位从 1 到 n 顺序编号，假设其中编号为 3 、 28 、 97 的座位前没有亮灯。于是，国王下令这三个位置上的大臣按下各自面前的开关，把这三盏灯打开，这样才能开始会议议程。
在这 n 个大臣中，有一个奸臣。这次会议的议题恰好就是商讨对这个奸臣的惩治办法。奸臣知道自己难逃一劫，但他希望能够无限制地拖延会议。他可以在所有大臣就座前精心设置各个照明灯的初始状态，并在国王每次下达指令之后（但在大臣执行命令之前）把圆桌旋转到一个合适的位置，让大臣们按下错误的开关。
对于哪些 n ，奸臣可以始终保证灯不会全亮，从而无限制地拖延会议？对于哪些 n ，国王可以根据局势巧妙地构造指令，使得有限轮指令之后所有灯必然全亮？
国王与奸臣：某个国王手下有100个大臣。国王定期主持国家会议，届时100个大臣将会间隔均匀地坐在圆桌上。每个座位前都有一盏照明灯，只有所有的灯都亮了，会议才能开始进行。如果有些灯没亮，国王会下达指令，让指定位置上的大臣按下座位前的灯的开关，把没亮的灯都打开，这样才能开始会议议程。
在这100个大臣中，有一个奸臣。这次会议的议题恰好就是商讨对这个奸臣的惩治办法。奸臣知道自己难逃一劫，但他希望能够无限制地拖延会议。他可以在所有大臣就座前精心设置各个照明灯的初始状态，并在国王每次下达指令之后（但在大臣执行命令之前）把圆桌旋转到一个合适的位置，让大臣们按下错误的开关。
在会议结束前，奸臣仍然是100个大臣中的一员。国王每次只能对大臣下达指令，而奸臣可以任意旋转圆桌，改变灯与大臣的对应关系。请问国王能够开始会议议程吗？请说明理由。
