平面上有n個點，其中任意三點都構成一個直角三角形。證明n<5
幾何證明
1 r1=2r2
2 7/r4=2/r7+5/r1
用任意的方式，給平面上的每個點染上黑色或白色，證明：一定有一個邊長為1或根號3的等邊三角形，它的三個頂點同色
平面上有10個點，在這10個點中任取5個點，則5個點中必有4個點在一個圓上，證明：有9個點在一個圓上
將15×15的正方形方格表塗上紅色、藍色、綠色，證明至少可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數相同。
作一個十三邊形，再作一條與該多邊形13條邊都相交的直線。
證明：該直線至少通過一個頂點。
是不是所有的五角星（不一定是正五角星）的五個角之和都是180度。如果是，請證明。不是，請舉出反例。
2003年IMO中國國家集訓隊選拔考試試題
在銳角△ABC中，AD是∠A的內角平分線，點D在邊BC上，過點D分別作DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別為E、F，連結BE、CF，它們相交於點H，△AFH的外接圓交BE於點G。求證:以線段BG、GE、BF組成的三角形是直角三角形。
設⊙O的內接凸四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD的交點為P，過P、B兩點的⊙O1與過P、A兩點的⊙O2相交於兩點P、Q，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O相交於另一點E、F。求證:直線PQ、CE、DF共點或者互相平行
證明：球的體積大於任一具有相等表面積的正多面體
假定P, Q, R是△ABC的三邊AB、BC、CA上的三點，滿足RA+AP＝PB+BQ＝QC+CR=1/3，證明: PQ+QR+RP大於等於1/2
用尺規作圖可以二等分一個角，那麼如何三等分一個角。如果不能的話，怎樣證明不能三等分呢？
設∠XOY=90°，P為∠XOY內的一點，且OP=1，∠XOP=30°，過點P任意作一條直線分別交射線OX、OY於點M、N。求OM+ON-MN的最大值。
利用初等幾何證明證明圖中的角C角度等於角A和角B角度的和。
很簡單的一道題。Rt△ABD，∠ABD=90°，BE平分∠ABD，DE平分∠ADB的外角。求∠AEB度數。有興趣的可再想想如何證明。（回答數字即可）
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