第35届俄罗斯数学奥林匹克(十一年级)
在一个由若干个城市组成的国家中，其某些城市之间有道路相连，满足：
(1)所有道路互不相交；
(2)对任意两个城市都可以从一个城市
出发沿道路走到另一个城市(中间可能通过其他城市)．已知在每个城市中都设置了一个里程表
写有从这个城市出发开车途经所有城市所走过路程的最小值(同一城市可能经过几次)．
任意两个城市里程表上的数字的比值会不超过1.5吗？
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国王要在他的9座城市之间修路，每条路连接且仅连接两座城市，这些城市之间原本没有路.
国王要求各个城市与它相连的路的数量分别为5,4,7,3,2,3,6,3,4.
他的要求是否可以达成？如果可以达成那么路要修几条？
有一个由n个城市组成的王国，其某些城市之间有道路相连，满足：
（1）所有道路互不相交（若某两个城市间有道路相连，则称它们相邻）；
（2）对任意两个城市都可以从一个城市出发沿道路走到另一个城市（中间可能经过其它城市）；
（3）从任意一个城市出发，如果每一条道路至多利用一次的话，一旦离开则不可能回到出发的城市。国王进行如下改革：任命改革前的n位市长中的每一位改革后仍担任市长；任命改革前相邻城市的两位市长改革后仍在某两个相邻城市做市长。
是否存在一个城市改革前后由同一个人任市长，或者存在两个相邻城市改革前后互换市长？
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有两个国家，一个是正常的国家，另一个是它的镜像国，对于正常国家中的每一个城市，在镜像国中都有一个城市与之对应，反过来也一样。现知，若正常国中两个城市之间有铁路连接，则在镜像国中相应的两城市之间没有铁路连接；反之，对正常国中任意两个无铁路连接的城市，镜像国中相应的城市有铁路连接。设在正常国中，阿雅如果少于两次中转，就不能由A城到大B城。
证明：阿雅在镜像国中，可以由任意一城到达另一个城市，且都不需要超过两次中转。
