有一個由n個城市組成的王國,其某些城市之間有道路相連,滿足:
(1)所有道路互不相交(若某兩個城市間有道路相連,則稱它們相鄰);
(2)對任意兩個城市都可以從一個城市出發沿道路走到另一個城市(中間可能經過其它城市);
(3)從任意一個城市出發,如果每一條道路至多利用一次的話,一旦離開則不可能回到出發的城市。國王進行如下改革:任命改革前的n位市長中的每一位改革后仍擔任市長;任命改革前相鄰城市的兩位市長改革后仍在某兩個相鄰城市做市長。
是否存在一個城市改革前後由同一個人任市長,或者存在兩個相鄰城市改革前後互換市長?
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第35屆俄羅斯數學奧林匹克(十一年級)
在一個由若干個城市組成的國家中,其某些城市之間有道路相連,滿足:
(1)所有道路互不相交;
(2)對任意兩個城市都可以從一個城市
出發沿道路走到另一個城市(中間可能通過其他城市).已知在每個城市中都設置了一個里程錶
寫有從這個城市出發開車途經所有城市所走過路程的最小值(同一城市可能經過幾次).
任意兩個城市裡程表上的數字的比值會不超過1.5嗎?
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國王要在他的9座城市之間修路,每條路連接且僅連接兩座城市,這些城市之間原本沒有路.
國王要求各個城市與它相連的路的數量分別為5,4,7,3,2,3,6,3,4.
他的要求是否可以達成?如果可以達成那麼路要修幾條?
有兩個國家,一個是正常的國家,另一個是它的鏡像國,對於正常國家中的每一個城市,在鏡像國中都有一個城市與之對應,反過來也一樣。現知,若正常國中兩個城市之間有鐵路連接,則在鏡像國中相應的兩城市之間沒有鐵路連接;反之,對正常國中任意兩個無鐵路連接的城市,鏡像國中相應的城市有鐵路連接。設在正常國中,阿雅如果少於兩次中轉,就不能由A城到大B城。
證明:阿雅在鏡像國中,可以由任意一城到達另一個城市,且都不需要超過兩次中轉。