卡小修数学大冒险9 美味大蛋糕
考察点：球与圆台的表面积与体积公式、高次同余方程与一次同余方程组
为了庆祝缪斯苏醒，众人让卡小修花大价钱订做了一个大蛋糕。
卡小修得意地说：“想吃蛋糕也不难，请听题：我订做的蛋糕是个圆台，它的上底面圆的半径、下底面圆的半径、高三者都是整数，比为3:4:6（单位：厘米）。这个蛋糕挖去一个表面积（单位：平方厘米）和体积（单位：立方厘米）的数值相等的球后，正好均分给45只小精灵吃。则这个蛋糕的侧面积（单位：平方厘米）是多少？”
“果然是有钱的学霸都逆天，可是范围太大了，这条件很明显不够啊。”卡修斯为难地说。
“哦对了，这蛋糕一米多高。现在应该可以算出来了吧。”卡小修萌（xie）萌（e）地笑了笑。
请问蛋糕的侧面积是多少？
难度：较难
卡小修数学大冒险10 金砖的底边长
考察点：不定方程ax^2+bx^2+cx^2=0的解
吃完蛋糕后，大家商讨作战经费的事情，卡小修这才发现钱包里没钱了，于是从他家的保险柜里取出三块金砖。
“这三块金砖的底面都是正方形，底面边长都是整数。第一块金砖高23cm，第二块高7cm，第三块高29cm。且第一块金砖的体积等于其余两块之和。则下面选项中第一、二、三块金砖的底边长不可能分别是多少cm？”卡小修说。
“补充几点，可以使用计算器，但必须先解不定方程确定未知数的关系，不能先把选项代入其中。谁先做出来可以多得作战经费，因为战争需要头脑，也需要耐心。”卡小修用鼓（xiong）励（hen）的眼神看着大家。
那么下面选项中第一、二、三块金砖的底边长不可能分别是多少cm？
P．S．不必考虑是否真的有这样大小的金砖，只要符合底边长为整数，且满足不定方程即可。
难度：困难
原创超难题：只用科学计算器的某些功能键，如何用最短步数屏幕上显示3？(提示：10步到20步之间)
可以用的键包括：
平方=2
自然对数=L
sin=S
cos=C
颠倒功能=i
其中（开方=i+2,自然指数=i+L,asin=i+S,acos=i+C)
答案格式请用+分隔，例如在屏幕中显示4的过程为：
C+i+L+2+2+L
大家可以拿科学计算器实际检验一下，或者用百度/谷歌搜索“ln((exp(cos(0))^2)^2)”
挑战：是否有一种方式可以获得任意的正整数呢？
某个国王手下有 n 个大臣。国王定期主持国家会议，届时 n 个大臣将会间隔均匀地坐在圆桌上。每个座位前都有一盏照明灯，只有所有的灯都亮了，会议才能开始进行。如果有些灯没亮，国王会下达指令，让指定位置上的大臣按下座位前的灯的开关，把没亮的灯都打开。例如，当 n = 100 时，圆桌上会坐着 100 个大臣。不妨将座位从 1 到 n 顺序编号，假设其中编号为 3 、 28 、 97 的座位前没有亮灯。于是，国王下令这三个位置上的大臣按下各自面前的开关，把这三盏灯打开，这样才能开始会议议程。
在这 n 个大臣中，有一个奸臣。这次会议的议题恰好就是商讨对这个奸臣的惩治办法。奸臣知道自己难逃一劫，但他希望能够无限制地拖延会议。他可以在所有大臣就座前精心设置各个照明灯的初始状态，并在国王每次下达指令之后（但在大臣执行命令之前）把圆桌旋转到一个合适的位置，让大臣们按下错误的开关。
对于哪些 n ，奸臣可以始终保证灯不会全亮，从而无限制地拖延会议？对于哪些 n ，国王可以根据局势巧妙地构造指令，使得有限轮指令之后所有灯必然全亮？
假设你有 n 枚外观完全相同的硬币，它们的重量分别为 1g, 2g, 3g, …, ng 。有意思的是，这一次，你已经知道了各枚硬币的重量，而且你也已经把重量值标在了这些硬币上。但是，由于我不知道各枚硬币的重量，因此我希望你能向我证明，你所标的重量值是正确的（我知道这些硬币的重量是从 1 克到 n 克，我只是不知道哪个硬币对应哪个重量）。
你唯一能用的工具就是一架天平。每一次，你可以任意选择一枚或多枚硬币，放在天平的左侧，再从剩下的硬币中任意选择一枚或多枚硬币，放在天平的右侧（注意，你只能在天平上放硬币，不能放别的东西）。一个有意思的问题是，为了向我证明你所标的重量值都是对的，你最少需要使用多少次天平？
有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为 R 。我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。但考虑另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。那么，这中间一定会有一个临界点。这个临界点在哪里？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？
