有一個無限大的棋盤，棋盤左下角有一個大小為 n 的階梯形區域，其中最左下角的那個格子里有一枚棋子，如左圖所示。你每次可以把一枚棋子「分裂」成兩枚棋子，分別放在原位置的上邊一格和右邊一格。你的目的是通過有限次的操作，讓整個階梯里不再有任何棋子。下圖所示的是 n = 2 時的一種解法。我們的問題是：對於哪些 n ，這個遊戲是有解的？
本題為求拋硬幣連續出現同一面的概率問題。
一枚硬幣有兩面：「H面」和「T面」，設拋硬幣出現「H面」和「T面」的概率各為50%。
拋10次硬幣，求至少連續2次出現「H面」的概率；求正好連續2次出現「H面」的概率？
拋n次硬幣，求至少連續k次出現「H面」的概率；求正好連續k次出現「H面」的概率？
如果設拋硬幣出現「H面」的概率為p，出現「T面」的概率為1-p。k<=n
拋n次硬幣，求至少連續k次出現「H面」的概率；求正好連續k次出現「H面」的概率？
這題的主要目的是求n重貝努利試驗中同一結果連續出現的問題。
一個復原好的三階魔方，現在假設按照某種既定的旋轉規則一直轉下去，比如橫著轉一下，在豎著轉兩下，然後再橫著轉一下，豎著轉兩下，一直持續下去，把這種旋轉規則既定為A,我們知道在以A規則旋轉后魔方前後六面的組合方式定然不同，但是要看A規則是怎樣的了，比如也有可能執行N次A規則后魔方又復原，【比如豎著轉魔方一邊轉4次魔方又復原了】，現在問題是如果正面拿著魔方一面，比如白色一面，一直持續的沿著順時針的方向轉一次白面的一邊，那麼到最後魔方會再次復原嗎？
假設酒的酒精度在0.00到80.00度之間的某一固定值時為最佳，酒的酒精度越接近此值酒越好。某酒廠請來一位特級品酒師（當然是價格不菲），他每次會品3杯酒，然後排出3杯酒的好壞次序，如果其中兩杯距離最佳值一樣（比如一個高出1度，一個低出1度），則這兩杯的相對次序隨機排列。該大師會品3次（共 9杯），請問:
1.如何勾兌每杯酒的度數，才能使最終結果最接近最佳值？
2.如果比最佳值低1度則品質降M，比最佳值高1度則品質降N，且M=K*N，K如果=2，如何試？
3.K如果未知，如何試？
考慮一個傳統的猜數遊戲。 A 、 B 兩名玩家事先約定一個正整數 N ，然後 A 在心裡想一個不超過 N 的正整數 x ， B 則需要通過向 A 提問來猜出 A 心裡想的數。 B 的問題只有唯一的格式：先列出一些數，然後問 A 「x 是否在這些數里」， A 則需要如實回答「是」或者「否」。顯然， B 是保證能猜到 x 的，只需要依次詢問「x 是否等於 1 」，「x 是否等於 2 」即可。由於 B 可以精心選出滿足某種特徵的所有數，詢問 x 是否在這些數里，因而 B 還可以做得更好。例如當 N ＝ 16 時， B 第一次可以問「x 是否小於等於 8 」，或者等價地，「x 是否屬於 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 」；接下來，根據 A 的回復繼續細問「x 是否小於等於 4 」或者「x 是否小於等於 12 」，以此類推。另一種方法則是詢問「x 的二進位表達的第一位是否是 1」，「x 的二進位表達的第二位是否是 1」，以此類推，從而獲得 x 的二進位表達的所有數位，便能推出 x 來。
現在，有意思的問題來了。假設 A 可以偶爾說謊（但保證不會連續說謊兩次），那麼 B 還能通過詢問猜出 A 所想的數嗎？如果願意的話， B 可以詢問任意多次。
五個商人，帶著一個寵物猴，一起買了一堆西瓜。但是暮色已晚，他們決定第二天把西瓜平均分成五份，每人一份。夜裡，一個商人先醒了，他看了看地上的西瓜，想：我先給它分好吧。於是把西瓜平均分成五份，但不巧剩了一個。於是給猴吃了。他自己拿走了五份中的一份，又去zZZ…了。過一會又一個商人醒了，他一看：咦？地上怎麼是四堆西瓜？於是他把這四堆西瓜放到一起，又平均分成了五份。不巧，又剩了一個。於是給猴吃了。他自己拿走了五份中的一份，又去zZZ…了。過會，第三個商人又醒了，於是重複了第二個商人的行為，恰好還是剩一個。又給猴吃了……就這樣，5個商人都這樣做了一次。第二天早晨，他們一起把地上的四堆西瓜又重新分成了5份。恰好還是剩一個，又給猴吃了(看來此猴已經快撐死了-_-!)，每個人拿走一份。問：最開始這堆西瓜最少有多少個？
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