在所有周長相等的長方形中，正方形擁有最大的面積；在所有周長相等的平面圖形中，圓擁有最大的面積；在所有表面積相等的長方體中，正方體擁有最大的體積；在所有表面積相等的立體圖形中，球擁有最大的體積。所有這類問題的答案都是越對稱的圖形越好嗎？ George Pólya 在 Mathematical Discovery 一書中的第 15 章里舉了下面這個例子。
在給定圓周上選取四個點構成一個四邊形，那麼正方形的面積一定是最大的嗎？答案是肯定的。只要有哪個點不在相鄰兩點之間的圓弧的中點處，我們都可以把它移動到這段圓弧的中點處，使得整個圖形的面積變得更大。好了，我們現在的問題是，在球面上選取八個點構成一個頂點數為 8 的多面體，那麼正方體一定是體積最大的嗎？
顏色由RGB三原色組成，但人眼調色時只能比較亮度和色溫，不能直接認知每個原色的高低。假設亮度等於（R+B）*G，色溫等於（R-B）/G，現有一個標準色，你用作比對調節另一個顏色，每個原色有1到8個亮度等級，人眼可以感覺哪個亮度高低和色溫高低，但不知道差了多少，另外當亮度和色溫相等但實際3原色並不都相等時，你也能感覺出兩個顏色不一樣，但不確定哪裡不一樣。請問至少調多少次，才能保證調出一樣的顏色？
有一個無限大的棋盤，棋盤左下角有一個大小為 n 的階梯形區域，其中最左下角的那個格子里有一枚棋子，如左圖所示。你每次可以把一枚棋子「分裂」成兩枚棋子，分別放在原位置的上邊一格和右邊一格。你的目的是通過有限次的操作，讓整個階梯里不再有任何棋子。下圖所示的是 n = 2 時的一種解法。我們的問題是：對於哪些 n ，這個遊戲是有解的？
一個復原好的三階魔方，現在假設按照某種既定的旋轉規則一直轉下去，比如橫著轉一下，在豎著轉兩下，然後再橫著轉一下，豎著轉兩下，一直持續下去，把這種旋轉規則既定為A,我們知道在以A規則旋轉后魔方前後六面的組合方式定然不同，但是要看A規則是怎樣的了，比如也有可能執行N次A規則后魔方又復原，【比如豎著轉魔方一邊轉4次魔方又復原了】，現在問題是如果正面拿著魔方一面，比如白色一面，一直持續的沿著順時針的方向轉一次白面的一邊，那麼到最後魔方會再次復原嗎？
假設酒的酒精度在0.00到80.00度之間的某一固定值時為最佳，酒的酒精度越接近此值酒越好。某酒廠請來一位特級品酒師（當然是價格不菲），他每次會品3杯酒，然後排出3杯酒的好壞次序，如果其中兩杯距離最佳值一樣（比如一個高出1度，一個低出1度），則這兩杯的相對次序隨機排列。該大師會品3次（共 9杯），請問:
1.如何勾兌每杯酒的度數，才能使最終結果最接近最佳值？
2.如果比最佳值低1度則品質降M，比最佳值高1度則品質降N，且M=K*N，K如果=2，如何試？
3.K如果未知，如何試？
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