时空内有A、B两个世界(A世界的1分钟等同于B世界的1小时)，两个世界分别有一质点作轨道运动：A世界的质点在正三角形轨道上匀速运动，B世界质点在矩形轨道上匀速运动。已知：A世界质点的速度：B世界质点的速度＝3：1，矩形周长：正三角形边长＝4：1。现两个世界的质点同时从起点A顺时针运动，当两个质点同时回到起点A处时，A世界的质点完成的轨道圈数与B世界的质点完成的轨道圈数之比为( ).
1.观众先想一个1到63的任意自然数.
2.想好之后，魔术师拿出写着数字的一张纸，上面有六大部分，观众只需说出自己所想的数在哪几个部分出现，魔术师在心里将每个有观众所想的数的部分的最前面一个数相加，便可得到观众所想的数.
魔术师写有数字的纸如下:
第一部分: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63
第二部分:2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63
第三部分:4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60
61 62 63
第四部分:8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63
第五部分:16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 56 57 58 59 60 61 62 63
第六部分:32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
举例:假如观众所想的数为25，它在第一，四，五部分出现，这三部分最前面的数分别是1，8，16，1+8+16=25.
你知道魔术师为何能这样猜出观众所想的数吗？
找出回家的路
一天，海綿寶寶、章魚哥、派大星、珊迪四人相約到第一象限森林玩；忽然，森林中起了大霧，四人因而失散。四人分別向旗農救援隊求救，身為旗農救援隊的勇士，你可以幫他們四人找出回家的路嗎？
在x、y坐標各1~8之間共64個格子點中，已知四人位置分別是海綿寶寶(2，3)、章魚哥(5，1)、派大星(6，1)、珊迪(4，4)，而他們家的位置分別是海綿寶寶的家(6，6)、章魚哥的家(8，1)、派大星的家(3，7)、珊迪的家(1，8)，請依據以下規則找出每個人回家的路線，並回答下列問題。
路線規則:
1. 每個人都要找到回家的路線。
2. 路線只可水平方向或鉛直方向相連，且不可交叉或分岔。
3. 每個格子點只可通過一次。
4. 所有格子點皆需有路線通過。
問題:海綿寶寶回家共經過幾個格子點？(包含(2，3)、(6，6))
如图所示截取刻度尺的一部分，现一质点的初始位置于6～10的某一整数刻度上(记为P初)，其以速度V1作匀速直线运动到达最大刻度值(记为Pmax)时迅速返回到0刻度上(之间的时间间隔可忽略不计)，速度也瞬间加倍到达P初停止，此过程经历的总时间为T1；若从P初以速度V2作匀速直线运动到达最大刻度值时迅速返回到0刻度上，速度瞬间减半到达P初停止，此过程经历的总时间为T2。设m＝Pmax2/P初.已知：2V1T1-V2T2＝24.则m一共有( )个可能的整数值。
一个公司里有 n 个员工，其中某些员工之间有“好友”的关系（这是一个对称的关系）。每天早晨来到公司，员工们都会从茶和咖啡中选择一样作为早饮。此时，每个员工都会观察自己的朋友们都在喝啥：如果超过一半的人都在喝茶，第二天他自己也会跟着喝茶；如果超过一半的人都在喝咖啡，第二天他自己就会跟着喝咖啡；如果喝茶喝咖啡的人数各占一半（仅当他有偶数个朋友时才会发生这种情况），则第二天他的决策不变，继续喝自己今天喝的东西。
由于 n 个员工一共只能产生 2n 种不同的早饮组合，因此总有一天大家喝的东西会和过去的某一天一模一样，从而产生循环。证明：循环的长度不超过 2 。
