某個國王手下有 n 個大臣。國王定期主持國家會議，屆時 n 個大臣將會間隔均勻地坐在圓桌上。每個座位前都有一盞照明燈，只有所有的燈都亮了，會議才能開始進行。如果有些燈沒亮，國王會下達指令，讓指定位置上的大臣按下座位前的燈的開關，把沒亮的燈都打開。例如，當 n = 100 時，圓桌上會坐著 100 個大臣。不妨將座位從 1 到 n 順序編號，假設其中編號為 3 、 28 、 97 的座位前沒有亮燈。於是，國王下令這三個位置上的大臣按下各自面前的開關，把這三盞燈打開，這樣才能開始會議議程。
在這 n 個大臣中，有一個奸臣。這次會議的議題恰好就是商討對這個奸臣的懲治辦法。奸臣知道自己難逃一劫，但他希望能夠無限制地拖延會議。他可以在所有大臣就座前精心設置各個照明燈的初始狀態，並在國王每次下達指令之後（但在大臣執行命令之前）把圓桌旋轉到一個合適的位置，讓大臣們按下錯誤的開關。
對於哪些 n ，奸臣可以始終保證燈不會全亮，從而無限制地拖延會議？對於哪些 n ，國王可以根據局勢巧妙地構造指令，使得有限輪指令之後所有燈必然全亮？
「80后」的童年有很多好玩的與數學相關智力遊戲，棋類遊戲就是其中的一種。我們所熟悉比如有軍棋，飛行棋，跳棋等等。而那時候的孩子們也很有「創新」的天賦，假設賈君鵬就是其中的一個，有一天他把自己擁有的一套跳棋進行了改裝同時也更換了此棋的走法。如圖所示就是他改裝之後的圖形，暫且命名為"S"棋，為了告訴別人此棋的走法，邀請他的同學chelsea和RealMadrid,他們按照各自名字的首字母順序向前移動：chelsea-賈君鵬-RealMadrid-chelsea-賈君鵬RealMadrid.....后一個要比前一個多走一步，一步只能走一格。假設現在，他們同時站在起點，那麼自然是chelsea先開始走，他走了一步到達A的位置，之後輪到賈君鵬走了，他走了一步到達B位置，之後就是RealMadrid走，。...請問根據這樣的規則走下去，最先到達終點是誰呢？
海盜分金，若干海盜分100塊金條，金條不得拆斷，由最大的海盜來分，如果這個海盜獲得不少於半數的海盜的支持（包括自己），則方案通過，如果不能得到超過半數的海盜的支持，則其他海盜會殺死這個海盜，並由下一個海盜負責分配，依次類推。
已知：1.所有海盜排名明確且公開。2.所有人都很聰明，也知道別人也很聰明。3.他們首先希望保命，其次希望分到更多的金幣，最後希望能夠更多的殺死其他海盜。
如果現在有500個海盜分100塊黃金，問排名第45的海盜是否有機會不死？
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