在所有周長相等的長方形中,正方形擁有最大的面積;在所有周長相等的平面圖形中,圓擁有最大的面積;在所有表面積相等的長方體中,正方體擁有最大的體積;在所有表面積相等的立體圖形中,球擁有最大的體積。所有這類問題的答案都是越對稱的圖形越好嗎? George Pólya 在 Mathematical Discovery 一書中的第 15 章里舉了下面這個例子。
在給定圓周上選取四個點構成一個四邊形,那麼正方形的面積一定是最大的嗎?答案是肯定的。只要有哪個點不在相鄰兩點之間的圓弧的中點處,我們都可以把它移動到這段圓弧的中點處,使得整個圖形的面積變得更大。好了,我們現在的問題是,在球面上選取八個點構成一個頂點數為 8 的多面體,那麼正方體一定是體積最大的嗎?
著名科學家勞倫斯到里斯鎮作演講,雖然絕大多數人根本聽不懂勞倫斯講的科學理論,可他們還是非常興奮——能見到這樣頂尖的科學家,聽不懂又有什麼關係呢?演講最後,勞倫斯說道:「每個人都知道,科研需要購買大量的器材和實驗用品,但由於政府財政上的困難,暫時沒能給我們科研室足夠的經費,我們的許多科研便因此停頓下來。這是非常可惜的!如果在座的不想看到這不利局面的話,請為我們的科研捐款吧!」此時,居民的情緒已經被調動到最高點,大家紛紛取出支票本,準備給「勞倫斯科研室」捐款。但威廉先生卻覺得有點不對,從來沒有聽說著名的勞倫斯教授會自己到處遊說拉贊助,何況還專程來到這樣偏遠的小鎮!他思考了一下,抱起小孫女,悄悄對小孫女說了幾句話,便高聲說道:「勞倫斯先生,我的小孫女有個小學數學問題想請教你!」在居民的鬨笑聲中,小女孩用稚嫩的聲音問道:「一家工廠4名工人每天工作4小時,每4天可以生產4架模型飛機,那麼8名工人每天工作8小時,8天能生產幾架模型飛機呢?」居民們的笑聲更響了,大家都覺得這個問題不但簡單,而且還有點弱智。勞倫斯微笑著回答:「所有條件都翻了一番,當然答案也翻一番了!是8架飛機,對不對?」居民們先是一愣,然後再次大笑起來。威廉先生站起來說道:「居民們,這是個冒充勞倫斯到處行騙的冒牌貨,大家不要上當啊!」頓時,台上的「勞倫斯」臉色發白,他想不到一道小學數學題目竟然揭穿了自己的本來面目!你能做出這道題嗎?
參加朝聖行列的農夫,這位 "發家致富者勤勞堅強,他一輩子用大車往自己的田裡拖糞;他不怕 嚴寒酷暑,既儉樸又虔誠。"這 個樸實的漢子,為給同路人提問題而發窘要知道,難題對於他那簡單的智力是不勝任的,但由於大家堅持,他就講了一個平常與他聰明的鄰人討論過的題目。
"蘇塞克斯這個地方,我到過那裡,有一塊土地上長著16棵 美麗的橡樹,它們形成12行,每行四棵樹。有一次某個學識淵博的人旅行到那裡,他說,這16棵樹可以形成15行,每行四棵樹。你們說說,應當怎樣栽種?
顏色由RGB三原色組成,但人眼調色時只能比較亮度和色溫,不能直接認知每個原色的高低。假設亮度等於(R+B)*G,色溫等於(R-B)/G,現有一個標準色,你用作比對調節另一個顏色,每個原色有1到8個亮度等級,人眼可以感覺哪個亮度高低和色溫高低,但不知道差了多少,另外當亮度和色溫相等但實際3原色並不都相等時,你也能感覺出兩個顏色不一樣,但不確定哪裡不一樣。請問至少調多少次,才能保證調出一樣的顏色?
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