四個連續正整數的積可以是完全平方數嗎？可以是完全立方數嗎？
註：完全平方數指的是某個整數的平方，如1，4，9，16，25，36，49...完全立方數指的是某個整數的三次方，如1，8，27...
大禮堂里一共有1000個座位，它們的編號分別為1，2，3，…，1000。某次音樂會的售票工作已經完成，經統計，共有800個人拿到了入場券。由於入場券數量小於座位數量，因此大禮堂的座位完全足夠。每張入場券上都印有座位號，入場者憑入場券對號入座。在這800個人即將按順序依次入場時，工作人員發現了一個嚴重的問題：由於印製錯誤，入場券上印的座位號只有1到500。我們假設這500個座位號每一個都在入場券中至少出現了一次。但是，由於入場券一共有800張，因而這800個人中有一些人的入場券上印有相同的座位號。這樣，入場時必將發生很多次座位的爭執。我們假定，當一個人入場后發現他該坐的位置上已經有了人時，這兩個人將發生一次爭執，爭執的結果總是這個人不能奪回座位；此時該人繼續尋找下一個座位號並可能再次發生爭執，直到找到一個空位為止。是否不管這些觀眾以什麼樣的順序入場，座位爭執的總次數都是一樣的。
【生活中的哲學】
大學放學高峰期在宿舍電梯門口總會排滿學生，該宿舍樓有0～19層，有如圖4種滿載15人的電梯各一個（該樓有樓梯，電梯標誌如14層以上停即只能到15、16、17、18、19層停）：現在你作為一名學生想要回到17層的宿舍，但是每座電梯門口排著長隊（長隊人數都大於等於15且小於20，且不能直接插隊）電梯所在層數如圖所示，且由於此時現狀除一樓外有人等電梯的情況可忽略不計，設電梯開關門花費2秒，不開門上下一層樓花費2秒，樓梯上行一層花費6秒，樓梯下行一層花費2秒，不計電梯到樓梯的時間，電梯中每人到相應電梯可到樓層的每個樓層的概率相等，問：如何最快到達宿舍樓層？
下面這個問題來自於IMO2010中的第5題。桌子上有B1、B2、B3、B4、B5、B6共六個盒子，初始時每個盒子裡面都有一枚硬幣。允許以下兩種操作：(1)選擇一個非空的盒子Bj（1≤j≤5），從Bj里拿走一枚硬幣，然後在Bj+1里添加兩枚硬幣。
(2)選擇一個非空的盒子Bk（1≤k≤4），從Bk里拿走一枚硬幣，然後交換Bk+1和Bk+2裡面的硬幣數（這兩個盒子里的硬幣數都有可能是0）。是否有可能通過有限次操作，使得最後B1、B2、B3、B4、B5都是空的，並且B6裡面恰好有2010^(2010^2010)枚硬幣（符號^表示乘方）？
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